学习数学的方法

一、认真预习初步加工

　　预习，即课前自学，是学习新知识的起始环节。一般指在教师讲课之前，自己先独立地阅读新课内容，做到初步理解，为上课做好知识上的准备的过程。
　　预习从时间和内容上说，大致可以分为三种：（１）课前预习。是在老师讲课以前，先自学下一节课要讲的新内容；（２）阶段预习。指预习下一个阶段的学习内容，范围往往是一章或几章，需要一个比较完整的时间才能进行；（３）学期预习。指开学前在假期里，把新学期的教材先自学一遍。这三种预习，一个比一个线条要粗。
　　课前预习有以下几点好处：
　　（1）预习可以提前消灭听课中的“拦路虎”。
　　通过预习，必然会有部分内容弄不懂。为什么看不懂呢？原因很多，其中一个原因是没有掌握好有关的旧知识，也可以说没有掌握好新课的预备知识。预习就象“火力侦察”，可以发现知识上的薄弱环节，在上课前迅速补上这部分知识，不使它成为听课时的“绊脚石”。这样，在学习和理解新知识时就会很顺利。有的学生之所以听讲效果差，有一条原因，就是没有准备好听课前所必需的旧知识，从而给听课带来了各种困难，很难做到当堂理解，结果上课时间被白白浪费，而预习，就可以避免这种被动局面的出现。例如，课前预习到初一数学《一元一次不等式和它的解法》一节时，书中有这样一段话：“解一元一次不等式就是求这个不等式的解集的过程，它的一般步骤与解一元一次方程类似，但一定要注意当两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。”如果不预习，上课时老师又不复习一元一次方程的解法，直接讲“两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变”的内容，有的同学就会听不懂。如果停下来，去问同学或查书，就会耽误了听课，结果，一步掉队步步掉队，再听也接不上了。这节课可能弄得心烦意乱，毫无成效。如果在预习过程中及时补上旧知识，上课听讲，接受新知识就会比较顺利。
　　（2）预习可以提高听讲水平。
　　一般说来，预习不可能把新教材全都理解了，总会遗留下一些不懂的问题，盼着上课时解决。这样听讲目的明确，态度积极，注意力也容易集中，听讲效果好。比那些老师讲什么听什么、主观上没有思想准备、没有重点、没有具体目标的学生，要主动得多。当老师讲到自己预习时已经理解的部分时，就可以把注意力集中在要看老师如何提出问题、分析问题、解决问题，拿自己的思路与教师或同学的思路进行比较，看教师或同学高明在什么地方，不足在什么地方，自己还有哪些理解不够的地方，取人之长，补己之短。假定书上有一道题，有Ａ、Ｂ、Ｃ三种解法，你预习时掌握了Ｂ种解法。课堂上老师把问题提出后，你就会胸有成竹地期待着，看老师或同学是怎样做的。如果有同学用Ｃ种方法解时，就可以举手提出你的Ｂ种解法，因为你的解法比较高明，教师、同学都会向你投来赞赏的目光，你心里就会产生一种说不出的愉悦感。如果那个同学也用Ｂ种方法解，你会因为与他不谋而合而高兴。如果老师在总结同学们的解法之后，提出了Ａ种解法，你就会感到惊喜不已，心中有顿开茅塞、别有洞天之感，佩服老师高明，更加虚心向老师学习，拍脑袋责备自己为什么没有想到这一步，从而提高学习兴趣，激起今后预习的欲望。可见，预习后上课不是没事干，而是听有重点，看有“门道”，学有目标，重在思考。这样做，不仅有利于掌握新知识，而且有利于思维能力的发展。
　　如果先不预习，不管用哪种解法解，都认为对，不会产生上面的情感体验，印象淡薄。由于盲目的听课，听和记本来就够紧张的了，哪里还能够匀出精力来思考理解？更谈不上与教师同学比较思路了。
　　（3）预习可以提高笔记水平。
　　由于预习时看过课本，所以老师讲的内容及教师板书，书上有没有，心里一清二楚。凡是书上有的，上课可以不记或少记，也可以留下空白待课后记。上课时，着重记书上没有的或自己不太清楚的部分，以及老师反复提醒的关键问题。这样做，就可以把更多的时间用在思考理解问题上。有的同学课前不预习，不知教师板书的内容书上有没有，从头抄到底，顾不上听课，更来不及思考，失去了许多宝贵时间。后来翻翻书，原来许多内容书上都有，根本用不着抄。这种盲目性的听课，大大影响了听课的效果。
　　那么应该怎样预习呢？
　　一是要妥善安排时间。最好在前一天晚上预习第二天要上的新课，这样印象较深。新课难度大，就多预习一些时间；难度小，就少预习一些时间。应选择那些自己学起来吃力，又轮到新讲课的科目进行重点预习，其它的科目大致翻翻即可。某些学科，也可以利用星期天，集中预习下一周要讲的课程，以减轻每天预习的负担。
　　二是要明确任务。预习总的任务是要先感知教材，初步处理加工，为新课的顺利进行扫清障碍。具体任务，要根据不同科目、不同内容来确定。一般有：（１）巩固复习旧概念，查清理解新概念，查不清、理解不透的记下来。（２）初步理解新课的这部分基本内容是什么？思路如何？在原有知识结构上向前跨进了多远？（３）找出书中重点、难点和自己感到费解的地方。（４）把本课后面的练习尝试性地做一做，不会做可以再预习，也可以记下来，等老师授课时注意听讲或提问。
　　三是要看、做、思结合。看，一般是把新课通读一遍，然后用笔勾划出书上重要的内容，需要查的就查一查，需要想的就想一想，需要记的就记。做，在看的过程中需要动手做的准备工作以及做做本课后的练习题。思，指看的时候要想，做到低头看书，抬头思考，手在写题，脑在思考。预习以后还要合上书本，小结一下。做好预习工作，还要注意几个问题。如果以前没有预习的习惯，现在想改变方法，先预习后上课，一下子全面铺开，科科课课都搞提前预习，时间就会不够用，弄得十分紧张，质量也未必能够有所保证。解决的办法是：先选一两门自己学起来感到吃力的学科进行预习试点，等尝到甜头，取得经验后，在时间允许的前提下，再逐渐增加学科，直到全面展开。二是预习应在做完当天作业之后进行。时间多时，就多预习几门，钻得深一点；否则就少预习几门，钻得浅一点。切不可每天学习任务还没完成就忙着预习，打乱了正常的学习秩序。前面讲过，预习、上课、整理、作业四个环节组成了每课时的一个圆环，只有当前边一圈滚过之后，方才能滚下面的一圈，不能因重视一个环节而打乱了圆环滚动“轨迹”，影响其它环节的运行。三是学习差的同学，课前不预习，上课听不懂，课后花大量时间补缺和做作业，整天忙得晕头转向，挤不出时间预习。其实，这种同学差的根本原因可能就在“不预习”上，因为前面一个圆环“欠债”，而影响了下面环节的顺利进行。这些同学在短时间内要多吃些苦，在完成每天学习任务之后，加班个把小时预习。这样做虽然费了时间，但上课能听得懂，减少了因上课听不懂而浪费的时间，花在课后整理消化、作业上的时间也可以减少许多，时间一长，运转正常了，学习的被动局面改变了，就不需要再加班了。四是根据学习的惯性理论，在各门学习成绩都很好的情况下，有特殊原因，时间太紧，对自己擅长学科也不一定要课课预习，不是重点、难点的章节也可以不预习。思路照样联系得上，好象铁轨上留有缝隙，火车照样通过一样，但是距离不能太远，否则就会造成“翻车”。

二、专心上课积极思考

　　上课，是学习的中心环节。一个中学生，每天大部分时间在课堂上度过，各科知识的获取以及智力能力的培养，主要通过上课这一环节完成。从学法调查中可知：凡是学习得法、成绩好的学生都十分重视上课这一环。凡是未学好、成绩差的同学，最主要就差在没有专心上课上。
　　那么怎样才能专心上好课呢？
　　（1）重视听讲。

充分认识到老师在上课时的重要作用。教师在教学活动中的主导作用，在上课时表现得最充分，时而指引方向，时而启发诱导，时而鼓劲加油，时而扶持帮助，教者始终处在学生的前列，为学生引路导航、指点迷津。老师的分析讲解、启发点拨，不管从内容的连续性、生动性还是从方法的系统性、灵活性，都比课后的辅导详细得多，更是同学们自己看书远远不能比拟的。

不仅如此，教师还能根据课堂上学生的反应，不断调整教学的进度和方式。千方百计提高课堂的教学效率。可以说，在老师的指导下，学生走的是一条最简捷的认识道路。每位同学应虚心向老师学习，在老师指导启发下上好每一节课。有的同学认为，父母懂得数理化，回家补补就行了，这些想法千万要不得，有了这些念头无意之中就会放松听课，降低四十五分钟的效率。
　　（2）专心听讲。

课上应集中注意力，全神贯注地听老师讲解，眼睛要盯着老师的嘴；看老师表情；耳朵听老师讲课的声音；头脑思考老师所讲的内容，思路应与老师保持一致。有的同学努力这样去做了，但是，有时听着听着，自己的思路离开了老师讲解的思路，独自思考起来。我们说，上课向老师学习是有时间性的，千万不要丢掉这个宝贵的机会。要尽量强制自己，使自己的思路与老师的思路保持一致，同步前进。如果自己在老师启发下有了比较好的想法，可以在笔记本上记下几笔，等下课后再去深入思考。在课堂上思路不可离开“向导”，单独行动，更不能乱发奇想，思想上“开小差”。课堂上“分心”、思想上“跑马”是学习的大敌。
　　（3）会听门道。

一般老师上课分成几个大步骤：开始复习与新课有关的旧知识，接着引入新课，进行分析、论证、推理。启发引导同学们理解掌握新课的内容，最后还要概括小结一下。如果是数理化英语等科目，中间可能还要进行一些必要的练习。同学们要听得出来，明白每一步骤讲话的目的。
　　另外，在听课时，有的同学从兴趣出发，对自己想听的认真听，对那些理论性强、比较枯燥的内容就不认真听，这样也是不行的，因为知识是有连续性的，忽视了哪一部分都会破坏知识的系统性，降低学习效果。
　　（4）当堂弄懂。

指课堂上就要基本理解掌握所学的新内容。一堂新课，总要介绍一些新概念、新关系、新技巧、新方法。那么，课堂上就要搞清楚每一个新概念的内涵和外延，弄清概念与概念之间的关系。对数理化中的公式、法则、定理、定律要知道是怎样推导出来的，以及如何变形和运用。对政史地文中的原则、要点、方法要当堂理解和记忆。对英语中的新词、句型、语法关系要及时熟记和掌握，当堂任务当堂完成，尽量不留尾巴，不增加课后负担。
　　那么，怎样才能做到当堂懂呢？这与个人的知识基础、理解能力以及预习程度都有关系。在课堂上教师讲到哪里，你就想到哪里，教师讲什么问题，你就理解什么问题，教师“启”，你就“发”，始终开动脑筋，积极思考。在思考理解过程中，经常会出现下面两种情况，要学会处理。
　　一是在理解过程中出现不理解或者理解不透的地方，应争取在老师允许下提出问题。当场把它弄懂。如果课堂上不允许停下来解答你的问题，这时的思路就不要停在这个问题上纠缠不休，应该暂时跨过去，继续听老师分析讲解下面的内容，等下课后再去请教老师，把课上“卡壳”的地方弄懂。
　　二是有的同学由于把主要精力放在思考理解上，顾不上记笔记。一课下来见别人记了很多，自己记的甚少，心里不踏实，怀疑自己的学习方法不对。这个问题必须搞清楚。记笔记是为了帮助理解记忆的，记是手段，理解是目的。如果上课时既能理解又能记好笔记，当然更好。如果二者之中只能顾其一的话，那么就干脆不记，以保证专心听讲和当堂理解。等下课后，再借别人的笔记补一补。课上虽说顾不上记，手里也要拿一支笔，当老师讲到某个问题对自己有启发时，或某个问题不懂、或有什么好的想法时，可在纸上或书上简要地记上几笔或画个符号，留待课后重点解决，防止关键地方或有价值的地方漏掉。有的同学认为，不管懂不懂，先记下来，等课后再慢慢理解、消化、吸收。本意并不错，但是一旦有了这种想法，上课脑筋不大动，拼命记笔记，下课笔记一大本，问题一大堆。想把一个一个问题都思考弄通，但时间和精力都不允许。无行当中“欠”了帐，欠帐多了，成绩就拉下来了，智力发展也就慢了。
　　（5）理清思路。

指自己的思路不但要跟着老师走，而且要把知识发展思路及教师引导思路理清楚。知识发展思路，在预习时可能理过，但不一定理清楚。上课时就应特别注意，弄清楚本节课所学的新内容，是怎么从上节课发展来的，在本学科知识体系中处在是什么位置，有什么作用，等等。这样理，有利于理解也有利与记忆。
　　教师讲课时，不但要理清知识发展思路，而且要想方设法讲解、启发，让同学们懂，这就是教师的引导思路。怎样理清教师的引导思路呢？一般来说，应做到如下四点：首先应认清“一条大路”，即老师每上一节课，从头至尾所走过的路。这节课主要内容是什么，老师开头怎样引入的，中间怎样分析引导的，最后怎么解决的，都应瞻前顾后地认识清楚。其次看怎样“过关斩将”。一条大路不是直的，看有几道弯，有几个关卡，老师带领学生怎么过去的。第三看是否步步有据，环环相扣，每转一个弯，每过一个关，是否顺利通达，还有没有“含糊”的地方。第四要评价老师思路。一般来说，老师思路是高明的，要搞清高明在什么地方，用哪些思维方式，思维过程怎样，虚心向老师学习科学的思维方法。但是，有时老师的思路不一定是最佳的，同学们可以用自己的思路与其比较，通过比较一定受益匪浅。
　　有的学生课上不大注意老师的讲课思路，而偏重与记忆老师推导、总结出来的公式或结论，认为这是一条“捷径”。其实，这是一条“死路”。因为学习是为了达到增长知识和发展智力这两个目的，跳过认识事物的艰苦思考过程，死背结论是记不住的。就是记住一些，也是知其然而不知其所以然的死知识。死知识忘得快，又不能用于解决问题，更谈不上发展智力。
　　（6）抓住关键。

指抓住本节课知识内容上的关键和学科特点上的关键。知识内容上的关键因学科及具体内容而异。一般而言，基本概念、基本原理和基本关系式是关键，当老师讲到这些关键地方，你一定要特别注意，紧抓不放。例如讲到“勾股定理”一节，一定要抓住定理的内容（怎么回事？）定理的证明（怎么来的？）定理的应用（怎么用的？）这些关键的地方抓住了，十分有利于定理的理解和掌握。
　　对于学科特点，不少同学往往容易忽视，不管上什么学科的课，总是“听、记、想”，不懂抓住不同学科的不同特点。例如，有的学生，外语课上不愿意跟着老师大声朗读，做分组实验时，自己不动手，光看别人做，自己抄个结果；老师做演示实验时，不注意在老师指导下进行观察和思考，只是看热闹，这些都是未抓住学科特点学习的具体表现。长此下去，必然会影响学习效果。实际上，各门学科的内容体系、发展思路、训练要求及教的方法各有特点，学习中非抓住这些特点不可。例如，生物课经常使用实物模型、标本和挂图进行教学，物理和化学课，则经常要做演示实验和分组实验来认识物质的理化性质，因此，在上物理、化学、生物课时要特别注意观察和实验，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律。代数的内容体系是通过运算种类的增加和数域的扩大来展开的，几何的内容是通过由简单的图形到复杂图形的认识逐步深入的，学习时就要抓住知识发展脉络，通过大量演算、证明等练习，获得数学知识，培养数学思维能力。语文和外语课就完全不同了，主要学习字、词、句、章节等基本知识，并通过听、说、读、写来提高阅读和写作能力，以便更好地理解和掌握语言和文字。

三、及时整理理解消化

　　下课后，有的同学就忙着做作业，课间十分钟也不休息。自习课上，作业多纪律就好，作业少纪律就差。课上听得很好，甚至还有什么好的想法，但几天就忘了。这些现象，都说明还有一部分学生忽略或不重视课后整理、理解消化这一环节。按照正常学习程序，下课后，应把当天所学内容及时复习整理、理解消化吸收。具体地说，应做好下面四件事：尝试回忆、看教科书、整理笔记和看参考书。
　　（1）尝试回忆
　　就是独立地把老师上课所讲的内容回想一遍，逼着自己专心致志地去动脑筋。象过电影一样，在头脑里“重映”上课时的一幕又一幕，理解、消化一个又一个关键问题。好比牛吃草反刍那样，吃的时候为了抢速度，狼吞虎咽地吃下去，其中有“夹生”或“生吞活剥”的地方，休息时，再把食物回到口腔里，细细地加以咀嚼。
　　尝试回忆的好处：一是可以检查当天听课的效果。如果自己能回忆出全部或大部分内容，就说明自己预习和上课的效果是好的。如果大部分回忆不出来，或关键的地方回忆出现中断，思路连不起来，就应当及时寻找原因，改进预习和上课的方式方法。二是可以提高自己的记忆能力，培养爱动脑筋的习惯。因为尝试回忆是一种积极主动的思维活动，需要注意力高度集中动脑筋思考。使学生的知识在大脑中“重现”。使其显得突出、显眼、深刻，起到巩固强化记忆的作用。经常这样回忆，不仅记忆力大增，而且能养成爱动脑筋的好习惯。三是能提高看书和整理笔记的积极性。回忆是学习成果的无声表达，如果表达不出来，自然会很着急地看书翻笔记，自觉地把遗忘部分作为重点来看。从而使看书和整理笔记有了明确的目的，提高积极性。
　　那么，怎样进行尝试回忆呢
　　第一，回忆预习的经过。有哪几个新概念，哪些地方懂了，哪些地方当时还未懂，自己是怎么查的，怎么记的，怎么想的。
　　第二，回忆上课的经过。老师是怎样引入新课的，自己懂的部分老师是怎么讲的，自己理解与教师讲的是否一致？自己不懂的部分老师又是怎么讲的，关键的地方老师又是如何启发、引导点拨的？为什么自己预习时弄不懂，老师比自己高明在什么地方？
　　第三，回忆刚学的知识。是否真正理解，知识点是否衔接？尤其是理科内容，新知识是如何从旧知识推导或引入的，思路是否贯通？新知识与旧知识有哪些联系？
　　回忆时，可以边回忆边对照课本和笔记，也可以先全部回忆一遍，把回忆不起来或理解不透的地方记下来，一起看书、查笔记，或请教别人把它弄通弄懂。
　　（2）看教科书
　　尝试回忆后，不管你回忆起来还是回忆不起来，都应该从头至尾、逐字逐句地看教科书。丝毫马虎不得，要一面看书、一面思考。因为这时已不是初次看书，而是在预习、听课和回忆的基础上进行的，所以可以全面过目，重点思考。对前面环节中已经理解和记住的部分，不必再花很多的时间，要在那些回忆不起来、思考不连贯、理解不深的地方多花些时间，直到彻底弄懂记住为止。
　　看书时，可用彩色笔把书上的重点、新概念、关键地方、容易忽略之处勾划出来。在书的四周空白处，可以记上一些自己的简要体会、高度概括课文内容的语言以及有利于记忆、带有提示性的语句。如果书上写不下，也可以写在一张纸上，贴在书上的眉头或边角上。以便今后看书时，从这些地方迅速得到启示，回忆起书中的主要内容和关键之处。有的同学平时只重视做题目，而不重视看教科书，事实上，这是舍本求末。近几年高考和中考之后，有许多同学说：“都是书上的题目，太浅了，所以我未考好。”这些同学吃的就是不重视看教科书的亏。教师教书有句至理名言：“以纲（教学大纲）为纲，以本（教科书）为本。”同样，这对同学们的学习也是适合的。
　　（3）整理笔记
　　整理笔记，主要是把上课时未记下的部分补起来，把记得不准确的地方更正过来，把次序颠倒、逻辑顺序不清的地方整理一番。笔记的内容应当简练明白，提纲携领，详略得当。一般来说，笔记的主要内容有：（１）预习时，发现自己掌握不太好或已忘了的旧概念、定理、公式等。（２）预习时发现的问题或体会。（３）自认为的重点、难点、关键。（４）听讲看书时自己悟出的重要体会。（５）新知识与旧知识的联系或结合点。（６）容易发生错误和混淆的概念。（７）补充书上或老师讲课中的不足。（８）从参考书上摘录下来的，对本课内容有极强针对性的材料等。
　　如果平时每课都把笔记整理好，阶段复习就有稽可查了，打开笔记本要有尽有，检检顺顺就行了。一旦复习考试，花点儿时间把笔记本翻翻，眉目清楚、中心突出重点、难点、关键地方一目了然，大大省去了考前突击查找资料，重新思考，临时归纳总结所花的时间。取得事半功倍的效果。
　　整理笔记是把知识深化、简化和系统化的过程。带有浓厚的个人色彩和特点。经过整理的笔记无疑是一份珍贵的复习资料，应该妥善保管，以备需时之用。
　　（4）看参考书
　　现在参考书很多，有的学生不加选择，乱看一气，实在是利少弊多。因为参考书是根据读者的不同层次，从理解问题的不同角度，围绕要解决的不同问题而编写的。有的参考书内容超纲，或深或浅，还有少数参考书粗制滥造，错漏百出。乱看参考书犹入把自己带入山高路险的歧途上跋涉，事倍未必有功半，危害甚大。
　　那么，是不是就绝对不可以看呢？也不是，看看适宜的参考书还是很有益处的。特别是那些学有余力的学生应该多看一些参考书。问题在于看什么样的参考书和怎么看。下面提几点意见供同学们参考。
　　①选择深浅相宜，解疑释难的参考书。每门课程可以选一本主要的参考书，这本主要参考书的编排体系应与教科书相同或相近，水平相当或略深一点，作为课本的伴读本，其它的作为一般的参考书。
　　②有时先看教科书，对课本上知识基本理解后，再去看参考书。有时课本上的某一内容难于理解，也可先看参考书，看它是怎样分析阐述的，从中受到启发。
　　③紧紧围绕老师讲的中心内容去看参考书。参考不能“参”得太远，如果脱离当时所学的中心内容，参考就会变成“干扰”了。
　　④参考书中有精彩的论述、精彩的题目，可以缩写注在课本上的有关地方，也可摘录放入笔记本的相应部分。
　　⑤看参考书的时间也可以放在做完作业之后，时间长就多看，否则就少看。